فصل سوم کتاب ریاضی ششم (اعداد اعشاری) | تدریس و آموزش از روی کتاب

در این مطلب آموزشی قصد داریم تا فصل سوم کتاب ریاضی ششم را بشما عزیزان بیاموزیم. این فصل درمورد (اعداد اعشاری) است. در ادامه همراه زنگ تفریح بمانید.

متن کامل کتاب درسی و توضیح درس، بررسی و همچنین گام به گام فصل سوم کتاب ریاضی پایه ششم ابتدایی تحت عنوان عددهای اعشاری مبحث یادآوری ضرب و تقسیم عددهای اعشاری که شامل صفحات ۴۸ تا ۵۱ کتاب ریاضی ششم می باشد در زیر آورده شده است. امید است که از آن بهره گرفته و استفاده لازم را ببرید.

مطالب مطرح شده مربوط به فصل سوم ریاضی ششم (اعداد اعشاری) مبحث یادآوری ضرب و تقسیم اعداد اعشاری بود که شامل صفحه های ۴۸ تا ۵۱ کتاب درسی ریاضی ششم می باشد.

پیش از این مبحث، موضوع یادآوری عددهای اعشاری تدریس شد و پس از این مبحث نیز، تقسیم عدد اعشاری بر عدد طبیعی و تقسیم یک عدد بر عدد اعشاری قرار دارد که می توانید با استفاده از لینک هایی که در ادامه قرار داده می شود وارد صفحه مبحث مورد نظر شده و از مطالب قرار داده شده بهره ببرید.

تقسیم اعداد اعشاری

به یاد دارید که در تقسیم، عددی که قرار است به بخش‌های مساوی تقسیم شود را مقسوم می‌نامیم. همچنین مقدار بخش‌ها برای تقسیم نیز مقسوم علیه نامیده شده و تعداد بخش‌ها حاصل از تقسیم نیز خارج قسمت گفته می‌شود. اگر در انجام عمل تقسیم، مقداری باقی نمانده باشد و همه تقسیم‌ها کامل باشند، تقسیم بدون باقی‌مانده بوده به اصطلاح می‌گوییم باقی‌مانده تقسیم، صفر است و مقسوم به مقسوم علیه بخش‌پذیر است. ولی اگر بعد از محاسبه خارج قسمت، مقداری از عملیات تقسیم باقی مانده باشد، تقسیم به همراه باقی‌مانده نمایش داده می‌شود.

برای تقسیم اعداد اعشاری چند شیوه یا روش وجود دارد که در متن به آن‌ها اشاره خواهیم کرد. ابتدا حالت‌هایی را در نظر می‌گیریم که مقسوم یا مقسوم علیه، عدد طبیعی (صحیح) باشند. سپس با کمک نمایش اعشاری به صورت کسر، تقسیم را اجرا کرده و در انتها نیز عملیات تقسیم برای اعداد اعشاری را مرور می‌کنیم.

تقسیم اعداد اعشاری بر عدد صحیح

در تصویر بالا، بخش‌های یک تقسیم را بازگو کردیم. حال به وضعیتی در تقسیم می‌پردازیم که در آن، مقسوم یک عدد صحیح بوده و مقسوم علیه، یک عدد اعشاری است. برای این گونه تقسیم ابتدا از یک تکنیک تصویری کمک می‌گیریم، سپس محاسبه ریاضی را معرفی می‌کنیم.

مثال 1: خارج قسمت تقسیم ۰٫۰۹ بر ۳ چقدر است؟

راه حل: برای نمایش مقدار ۰٫۰۹ باید یک شکل را به ۱۰۰ بخش مساوی تقسیم کرده باشیم. برای مثال مربعی که در تصویر زیر دیده می‌شود، به ۱۰۰ بخش تقسیم شده و ۹ قسمت از آن به رنگ آبی درآمده تا نمایانگر ۰٫۰۹ باشد.

مشخص است که برای اجرای این تقسیم باید مساحت بخش آبی رنگ را به سه بخش یا قسمت، تفکیک کنیم. از آنجایی که ۹ خانه رنگی داریم، تقسیم آن‌ها به سه بخش مساوی، باعث ایجاد قسمت‌هایی خواهد شد که هر کدام سه خانه دارند. فقط توجه داشته باشید که هر یک از این خانه‌ها، نشانگر یک بخش از ۱۰۰ بخش هستند. بنابراین سه تا از این بخش‌ها، برابر با عدد ۰٫۰۳ خواهند بود. به این ترتیب نتیجه را به صورت زیر می‌نویسیم.

۰٫۰۹ ÷ ۳ = ۰٫۰۳

همین محاسبات را به شکل دیگری نیز می‌توان انجام داد. به این ترتیب درست به مانند روال معمول برای تقسیم اعداد صحیح عمل کرده و هر جایی در مقسوم، به علامت اعشار یا ممیز رسیدیم، در خارج قسمت هم ممیز خواهیم گذاشت. در مثال بعدی از این شیوه کمک گرفته‌ایم.

مثال ۲: می‌خواهیم عدد ۱۲٫۳۴ را بر ۲ تقسیم کنیم.

راه حل: همانطور که می‌بینید، مقسوم (۱۲٫۳۴) یک عدد اعشاری، و مقسوم علیه (۲) عدد صحیح است. مراحل را به مانند یک تقسیم معمولی انجام می‌دهیم.

• گام اول: از محل علامت ممیز مقسوم، یک خط عمودی تا انتهای عملیات تقسیم رسم می‌کنیم. این خط به ما یادآوری می‌کند که چه بخشی از محاسبات روی عدد اعشاری و چه بخشی روی اعداد صحیح انجام شده است. تقسیم بخش عدد صحیح از مقسوم بر مقسوم علیه را به شیوه معمول اجرا می‌کنیم. از آنجایی که تقسیم ۱۲ بر ۲، برابر است با ۶، در خارج قسمت، ۶ قرار داده و باقی‌مانده را محاسبه می‌کنیم. به تصویر زیر دقت کنید.

• گام دوم: از آنجایی که باقی‌مانده صفر شده یا بر ۲ بخش‌پذیر نیست (از ۲ کوچکتر است)، یک رقم دیگر از مقسوم را به پایین آورده و عمل تقسیم را بعد از ممیز آغاز می‌کنیم. این کار در تصویر زیر صورت گرفته است.

• گام سوم: از آنجایی که در گام قبلی رقم ۳ بعد از ممیز قرار گرفته، در خارج قسمت نیز ممیز قرار داده و عمل تقسیم را ادامه می‌دهیم.

• گام چهارم: باز هم باقی‌مانده از مقسوم علیه کوچکتر شده و باید یک رقم از مقسوم اضافه کنیم. با اضافه کردن ۴ گام نهایی برداشته می‌شود.

• گام پنجم: خارج قسمت تقسیم ۱۴ بر ۲ عدد ۷ خواهد بود. بنابراین ۷ را در ادامه رقم‌های مقسوم قرار می‌دهیم. باقی مانده تقسیم در اینجا برابر با صفر شده و هیچ رقمی از مقسوم باقی نمانده است. پس مراحل تقسیم تمام می‌شود. حاصل تقسیم ۱۲٫۳۴ بر ۲، مساوی با ۶٫۱۷ خواهد بود.

مثال ۳: حاصل تقسیم ۲۴٫۶ را بر ۱۲ مشخص کنید.

راه حل: شاید استفاده از تقسیم تفکیکی برای حل این مسئله تقسیم اعداد اعشاری در این حالت، ساده‌تر باشد. ابتدا ۲۴٫۶ را به صورت ۲۴ + ۰٫۶ می‌نویسیم، سپس تقسیم هر بخش را بر ۱۲ بدست می‌آوریم.

( ۲۴ + ۰٫۶ ) ÷ ۱۲ = ۲۴ ÷ ۱۲ + ۰٫۶ ÷ ۱۲ =

۲ + ۰٫۰۵ = ۲٫۰۵

مشخص است که برای تقسیم ۰٫۶ بر ۱۲ به همان روش قبلی عمل کرده‌ایم.

نکته: توجه داشته باشید که در تقسیم اعداد اعشاری بر عدد طبیعی یا صحیح، تعداد رقم‌های اعشار مقسوم، خارج قسمت و باقی‌مانده برابرند.

تقسیم عدد صحیح بر اعداد اعشاری

در این بخش از متن، حالت عکس بخش قبلی را برای تقسیم اعداد اعشاری مرور می‌کنیم. یعنی مقسوم علیه یک عدد اعشاری است ولی مقسوم، عدد صحیح است. قرار است تقسیم را برای این وضعیت با توجه به باقی‌مانده نیز مرور کنیم.

مثال 4: حاصل تقسیم ۲0 بر ۰٫۵ چیست؟

راه حل: یک شیوه جالب برای انجام این کار، رسم محور اعداد و تقسیم کردن واحد روی آن است. می‌دانید که منظور از عدد ۲0، مقداری است که از صفر به اندازه ۲0 واحد فاصله دارد. به شکل زیر دقت کنید.

در اینجا هم منظور از تقسیم ۲0 بر ۰٫۵، پیدا کردن تعدادی از اندازه‌های نیم واحدی (۰٫۵) است که ما را به ۲0 می‌رساند. با توجه به شکل زیر، تعداد 40 نیم واحد ما را به عدد ۲۰ خواهد رساند. پس تقسیم ۲۰ بر ۰٫۵ برابر با ۴۰ خواهد بود.

مثال 5: حاصل تقسیم ۲0 بر ۰٫۱ چقدر است؟

راه حل: همانطور که در مثال قبل دیدیم، باید هر واحد را به ۱۰ واحد تبدیل کنیم تا هر قسمت نشانگر ۰٫۱ باشد. پس اگر هر واحد را ۰٫۱ کنیم، فاصله ۲۰ تا صفر، ۱۰ برابر خواهد شد. به این ترتیب خواهیم فهمید که تقسیم ۲۰ بر ۰٫۱ برابر با ۲۰۰ خواهد بود.

۲۰ ÷ ۰٫۱ = ۲۰۰

می‌توان حاصل عمل تقسیم را به کمک ضرب هم امتحان کرد. کافی است خارج قسمت را در مقسوم علیه ضرب کرده و با باقی‌مانده جمع کنید. در مثال ما، ۰٫۱ مقسوم علیه و ۲۰۰ خارج قسمت بود. همچنین باقی‌مانده نیز صفر بدست آمد. پس به صورت زیر تقسیم را امتحان می‌کنیم.

۲۰۰ × ۰٫۱ + ۰= ۲۰

مثال 6: این بار عدد صحیح ۲5 را به ۰٫۸ تقسیم کنید.

راه حل: می‌دانیم این بار باید هر واحد را به اندازه ۰٫۸ در نظر بگیریم و از محور اعداد استفاده کنیم. ولی شاید راه ساده‌تر، استفاده از ضرب اعشاری باشد. می‌دانیم که ۱۰ در ۰٫۸ برابر با ۸ است. از طرفی ۲۰ در ۰٫۸ هم ۱۶ خواهد بود. به همین ترتیب عدد صحیح را افزایش می‌دهیم تا به مضربی از ۰٫۸ برسیم که نزدیک‌ترین مقدار به 25 بوده و از آن هم کوچکتر باشد. حتما به یاد دارید که باقی‌مانده تقسیم باید مثبت یا صفر باشد. به همین علت از بین مقادیر مضرب ۰٫۸ نزدیک‌ترین را انتخاب کرده‌ایم که از 25 کوچکتر باشد. مشخص است که ۳۱ مضربی است که حاصل ضرب آن در ۰٫۸ برابر با 24٫۸ است.

از همین جا خارج قسمت ۲۴٫۸ بدست آمده و باقی‌مانده هم برابر با ۰٫۲ خواهد بود زیرا فاصله بین این حاصل‌ضرب تا ۲۵ برابر با ۰٫۲ است.

همانطور که دیدید، در این مثال به کمک رابطه ضرب بین اعداد اعشاری، تقسیم را انجام دادیم.

نکته: اگر در یک تقسیم، مقسوم و مقسوم علیه را در عددی غیر صفر ضرب کنیم، خارج قسمت تغییری نمی‌کند ولی باقی مانده هم در همان عدد ضرب می‌شود.

در قسمت‌های بعدی، حالتی از تقسیم اعداد اعشاری را معرفی می‌کنیم که به کمک آن، می‌توانید هر دو حالت قبلی را هم اجرا کنید. توجه دارید که باید نتیجه بدست آمده از روش‌های بعدی با روش‌های قبلی یکسان باشد. تفاوت فقط در شیوه انجام تقسیم یا طولانی بودن محاسبات است. استفاده از روش‌های بعدی، ساده‌تر و سریع‌تر بوده ولی در آن‌ها از مفاهیم ضرب کردن که در قبل در باره تقسیم اعداد اعشاری اشاره کردیم، استفاده شده است. به همین دلیل بهتر است هر دو مسیر را بدانید.

تقسیم اعداد اعشاری به کمک کسر

یکی از روش‌های ساده و راحت برای تقسیم اعداد اعشاری در ریاضی، تبدیل آن‌ها به صورت کسری است. به این ترتیب از همان شیوه تقسیم کسرها استفاده می‌کنیم. برای تقسیم کسرها، از قوانینی که در زیر فهرست شده‌اند، استفاده می‌کنیم.

برای تقسیم کسرها با مخرج یکسان، فقط صورت‌ها را بر هم تقسیم می‌کنیم.

مثال 7: اگر مقسوم سه چهارم و مقسوم علیه یک چهارم باشد، حاصل تقسیم چه خواهد بود.

راه حل: واضح است که باید تقسیم زیر صورت گیرد.

به توجه به توضیحی که داده شد، از آنجایی که مخرج‌ها در مقسوم و مقسوم علیه، با هم برابر هستند، کافی است صورت‌های کسرها را بر هم تقسیم کنیم. از آنجایی که صورت کسر اول (مقسوم) برابر با ۳ و صورت مقسوم علیه نیز برابر با ۱ است، حاصل تقسیم ۳ بر ۱ نیز، عدد ۳ خواهد بود.

مثال 8: حاصل تقسیم عدد مخلوط را به صورت زیر معرفی می‌کنیم. قرار است تقسیم زیر را بسازیم.

راه حل: لازم است ابتدا مقسوم را به صورت کسر متعارفی درآوریم، سپس عملیات تقسیم را به مانند قبل اجرا کنیم. به محاسبات زیر توجه کنید.

پس حاصل تقسیم به شکل زیر صورت می‌گیرد.

مثال 9: حاصل تقسیم کسرهای زیر چیست؟

راه حل: به نظر می‌رسد که مخرج این دو کسر با هم برابر نیستند. ولی می‌توانیم با توجه به کوچکترین مضرب مشترک (ک-م-م) بین مخرج‌های این دو کسر، یا به بیان دیگر، بدست آوردن مخرج مشترک آن‌ها، کسرها را به حالتی تبدیل کنیم که مخرج‌های یکسانی داشته باشند.

کوچکترین مضرب مشترک بین ۴ و ۵، عدد ۲۰ است. بنابراین کافی است که صورت و مخرج کسر اول را در ۴ و صورت و مخرج کسر دوم را هم در ۵ ضرب کرده تا به کسرهایی با مخرج برابر برسیم. توجه دارید که ضرب کردن یک عدد (غیر از صفر) در صورت و مخرج کسر، مقدار آن را تغییر نمی‌دهد. این کارها در ادامه دیده می‌شوند.

به این ترتیب هر دو کسر، مخرج‌هایی یکسانی داشته و به این ترتیب تقسیم کسری را اجرا می‌کنیم.

به این ترتیب به یک تقسیم عدد صحیح رسیده‌ایم که می‌توانیم حاصل یا خارج قسمت آن را به صورت یک عدد اعشاری که در اینجا ۰٫۵۳۳۳۳ است، نشان دهیم. ولی به عنوان راه حل کلی برای تقسیم اعداد اعشاری به روش تبدیل به کسر و تقسیم کسرها، ابتدا با شیوه نمایش کسری اعداد اعشاری به طور خلاصه می‌پردازیم.

برای تبدیل هر عدد اعشاری به صورت کسری، کافی است جایگاه آخرین ارقام اعشار را مشخص کرده و در کسر برحسب این جایگاه، مضرب‌هایی از ۱۰ را قرار دهید و همه ارقام بعد از اعشار را در صورت بنویسیم. برای مثال جایگاه یک‌دهم، با مخرج ۱۰ مشخص می‌شود. اگر عدد اعشاری دارای رقمی در جایگاه یکصدم باشد، در مخرج کسر، ۱۰۰ قرار می‌دهیم.

مثال 10: عدد اعشاری ۰٫۴ را به صورت کسری بنویسید.

راه حل: رقم ۴ در این عدد اعشاری، جایگاه دهم دارد، بنابراین برای تبدیل آن به صورت کسری، در مخرج مقدار ۱۰ را قرار می‌دهیم.

مثال ۱۱: عدد اعشاری ۰٫۱۵ را به صورت کسری بنویسید.

راه حل: آخرین رقم اعشار در ۰٫۱۵، رقم ۵ است که در جایگاه صدم قرار دارد. بنابراین باید برای تبدیل آن به صورت کسری، در مخرج، مقدار ۱۰۰ را قرار داده و همه ارقام بعد از اعشار را در صورت بیاوریم.

مثال ۱۲: عدد اعشاری ۰٫۲۰۴ را به صورت کسری بنویسید.

راه حل: مشخص است که آخرین رقم اعشار در ۰٫۲۰۴، رقم ۴ است. این رقم در جایگاه هزارم قرار گرفته است. بنابراین در مخرج کسر ۱۰۰۰ قرار خواهیم داد. بقیه ارقام را هم در صورت می‌نویسیم. بنابراین تبدیل آن به صورت کسری به صورت زیر خواهد بود.

مثال ۱۳: عدد اعشاری ۰٫۰1۴۸ را به صورت کسری بنویسید.

راه حل: آخرین رقم این عدد (یعنی ۸) در جایگاه ده هزارم مشخص شده است. بنابراین در مخرج کسر ۱۰۰۰۰ قرار خواهیم داد. بقیه ارقام (به جز صفر قبل از ارقام) را هم در صورت نمایش می‌دهیم. به این ترتیب ۰٫۰۱۴۸ را به صورت کسری در آورده‌ایم.

برای تقسیم دو عدد کسری، کسر مربوط به مقسوم علیه را معکوس کرده و در کسر مقسوم ضرب می‌کنیم.

پس کافی است از طریق ضرب اعداد صحیح، نتیجه تقسیم اعداد اعشاری را به کمک کسر محاسبه کنیم. این موضوع را با نمادهای ریاضی به صورت زیر نمایش می‌دهیم.

$$\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times \frac{d}{c}=\frac{a\times d}{b\times c}$$

همانطور که می‌بینید، صورت کسر اول یعنی a در مخرج کسر دوم یعنی d ضرب شده و صورت کسر مربوط به تقسیم را ساخته است. از طرفی مخرج کسر اول یعنی b نیز در صورت کسر دوم یعنی c ضرب شده و مخرج کسر خارج قسمت را تشکیل داده است. به این ترتیب به کمک مثال‌های زیر، نحوه تقسیم دو عدد اعشاری با استفاده از تبدیل آن‌ها به کسر را معرفی می‌کنیم.

نکته: به منظور آشنایی با مراحل تبدیل عدد اعشاری به کسر، متن کسر متعارفی — به زبان ساده را بخوانید تا این کار را به سادگی انجام دهید.

مثال 14: حاصل تقسیم ۰٫۳ را بر ۰٫۴ بدست آورید.

راه حل: همانطور که گفته شد، ابتدا هر دو عدد اعشاری را به صورت کسر در می‌آوریم.

بنابراین تقسیم به صورت زیر نوشته می‌شود.

در تساوی آخر، کسر را به عدد اعشاری تبدیل کرده‌ایم. به این ترتیب خارج قسمت تقسیم ۰٫۳ بر ۰٫۴ برابر با ۰٫۷۵ است.

مثال ۱۵: حاصل تقسیم ۱٫۳ بر ۰٫۴ را بدست آورید.

راه حل: ابتدا اعداد را به صورت کسری می‌نویسیم و به کمک رابطه تقسیم کسرها، خارج قسمت را بدست می‌آوریم.

حالا، کسر مربوط به 1٫۳  را بر ۰٫۴ تقسیم می‌کنیم.

مثال ۱۶: خارج قسمت تقسیم ۱٫۳ را بر ۱٫۲ مشخص کنید.

راه حل: همانطور که اشاره شد، ابتدا اعداد اعشاری را به کسر تبدیل می‌کنیم.

حالا، کسرها را به هم تقسیم می‌کنیم.

همانطور که می‌بینید، کسر بدست آمده به صورت یک عدد اعشاری با دوره گردش ۳ خواهد بود. خط تیره‌ای که بالای رقم ۳ دیده می‌شود، نشان دهنده دوره گردش یا تکرار این رقم در نتیجه تقسیم است. چنین کسرهایی مانند «یک دوازدهم» را به نام کسرهای مولد اعشار متناوب می‌شناسیم.

تقسیم اعداد اعشاری به روش مستقیم

در این روش، با همان شیوه‌ای که تقسیم را انجام می‌دادیم، محاسبات را انجام می‌دهیم. در ادامه به کمک مثال‌هایی این روش را توضیح می‌دهیم.

مثال ۱۷: حاصل تقسیم ۰٫۶ بر ۱۲ چگونه بدست می‌آید.

راه حل: به شیوه تقسیم مستقیم باید رقم به رقم، عمل تقسیم را انجام دهیم.

در گام اول سعی می‌کنیم که ۰٫۶ را بر ۱۲ تقسیم کنیم. به این ترتیب عمل تقسیم را به صورت نمادین و به شکل زیر می‌نویسیم. قسمت صحیح (صفر) بر ۱۲ بخش‌پذیر نیست، پس به قسمت اعشاری مراجعه می‌کنیم.

در گام دوم، ابتدا یک ممیز در خارج قسمت قرار می‌دهیم، زیرا به علامت ممیز رسیده‌ایم. چون ۰٫۶ بر ۱۲ بخش پذیر نیست، یک صفر از سمت راست به پایین انتقال داده و برای خارج قسمت هم بعد از ممیز یک صفر اضافه می‌کنیم. برای مشخص کردن محل ممیز در گام‌های بعدی، از یک خط عمودی به رنگ آبی نیز کمک گرفته‌ایم.

با توجه به اینکه حاصل تقسیم ۶۰ بر ۱۲ مساوی با ۵ است، در قسمت اعشار خارج قسمت، ۵ را اضافه می‌کنیم. از آنجایی که باقی‌مانده صفر شده است، عمل تقسیم پایان یافته.

مثال ۱۸: حاصل تقسیم ۱۲ بر ۰٫۲۳ چیست؟

راه حل: برای حل و بدست آوردن خارج قسمت به همان شیوه قدیمی تقسیم رجوع می‌کنیم. ابتدا از سمت چپ مقسوم علیه یک رقم جدا کرده و سعی می‌کنیم، تقسیم را انجام دهیم. فقط به این نکته توجه داشته باشید، چون آخرین رقم مقسوم علیه در مکان دوم (صدم) قرار دارد، اولین رقم خارج قسمت هم مربوط به مکان دوم (دهگان) است.

اولین رقم از سمت چپ (بعد از علامت ممیز) عدد ۲ است، که مشخص است ۱۲ به ۲ بخش‌پذیر بوده و حاصل تقسیم ۶ خواهد بود که با توجه به مکان دوم آن، باید آن را ۶۰ در نظر بگیریم. ولی از آنجایی که حاصل ضرب ۶۰ در ۰٫۲۳ بزرگتر از ۱۲ است (مقدار 13٫۸)، از ۵ یا به طور دقیق ۵۰ استفاده می‌کنیم، حاصل ضرب ۵۰ در ۰٫۲3 یعنی 11٫۵، کوچکتر از ۱۲ است، پس ۵۰ عدد مناسب خواهد بود.

پس از ضرب کردن 50 در ۰٫۲3، حاصل ۱1٫۵ شده و باقی‌مانده ۰٫۵۰ خواهد شد که از ۰٫۲۳ بزرگتر است. بنابراین باید تقسیم ادامه پیدا کند. این بار ۰٫۵۰ را بر ۰٫۲۳ تقسیم می‌کنیم که خارج قسمت برابر با 2 خواهد بود که آن را در یکان قرار می‌دهیم. حاصل ضرب ۰٫۲۳ در ۲ برابر با ۰٫۴۶ بوده و باقی‌مانده نیز برابر با ۰٫۰۴ حاصل می‌شود. چون این عدد از ۰٫۲۳ کوچکتر است، می‌توانیم همین جا عمل تقسیم را پایان داده و خارج قسمت را ۵۲ و باقی‌مانده را ۰٫۰۴ بدست آوریم.

نکته: در صورتی که نتیجه تقسیم را با دقت بیشتر احتیاج داشته باشیم، با اضافه کردن یک صفر به ۰٫۰۴ می‌توان عمل تقسیم را به کمک ۰٫۰۴۰ ادامه داد. فقط به یاد داشته باشید که در خارج قسمت هم باید علامت ممیز را به کار ببرید.

در تصویرهای زیر گام‌های خلاصه این تقسیم دیده می‌شود.

تقسیم اعداد اعشاری به روش تبدیل

در این روش که شاید سریع‌ترین روش تقسیم اعداد اعشاری باشد، ابتدا هم مقسوم و هم مقسوم علیه را به عدد صحیح تبدیل کرده و عمل تقسیم را به شیوه معمول انجام می‌دهیم. فقط باید به این نکته توجه داشته باشید از اعداد ۱۰، ۱۰۰ یا ۱۰۰۰ و … به شکلی استفاده کنید که همزمان هم مقسوم و هم مقسوم علیه را به عدد صحیح تبدیل کند.

برای مثال اگر قرار باشد ۰٫۴ و ۰٫۰۵ را به ضرب کردن در یک عدد، به صورت صحیح درآوریم، هر دو را باید در ۱۰۰ ضرب کنیم و حاصل این کار به شکل ۴۰۰ و ۵ درخواهد آمد. پس با توجه به بیشترین مکان رقم اعشار هر دو عدد، تبدیل را انجام می‌دهیم. پس مشخص شده، از آنجایی که بیشترین رقم اعشار در بین ۰٫۴ و ۰٫۰۵، رقم ۵ است که در مکان صدم قرار گرفته، هر دو عدد را در ۱۰۰ ضرب می‌کنیم.

مثال ۱۹: حاصل تقسیم ۰٫۴ بر ۰٫۰۵ را بدست آورید.

راه حل: همانطور که گفته شد، ابتدا آن‌ها را با ضرب کردن در ۱۰، ۱۰۰ یا ۱۰۰۰ تبدیل به عدد صحیح می‌کنیم. عدد مناسب در اینجا ۱۰۰ است.

۰٫۴ × ۱۰۰ = ۴۰

۰٫۰۵ × ۱۰۰ = ۵

حالا آن‌ها را بر هم تقسیم می‌کنیم. می‌دانیم خارج قسمت تقسیم عدد ۴۰ بر ۵ برابر با ۸ بوده و باقی‌مانده هم صفر شده که معمولا می‌گوییم باقی‌مانده ندارد. در این حالت می‌گوییم ۴۰ بر ۵ بخش‌پذیر است. این تقسیم را یک تقسیم کمکی می‌نامیم. خارج قسمت تقسیم اصلی با خارج قسمت تقسیم کمکی برابر است فقط باقی‌مانده باید بر ۱۰۰ تقسیم شود که چون باقی مانده وجود ندارد، تغییری در تقسیم رخ نمی‌دهد.

مثال ۲۰: حاصل تقسیم 0٫۵ بر ۰٫۲3 را بدست آورید.

راه حل: اول هر دو را در ۱۰۰ ضرب می‌کنیم چون آخرین رقم اعشار در ۰٫۲۳، که عدد ۳ است، در جایگاه صدگان قرار دارد.

0٫۵ × ۱۰۰ = ۵۰

۰٫۲۳ × ۱۰۰ = ۲۳

حالا بر اساس تقسیم کمکی، ۵۰ را بر ۲۳ تقسیم می‌کنیم. خارج قسمت برابر است با ۲٫۱۷ و باقی‌مانده هم برای تقسیم کمکی، مقدار 0٫۰۹ است. ولی باید توجه داشته باشید که این باقی‌مانده باید بر ۱۰۰ تقسیم شود تا باقی‌مانده تقسیم اصلی را نشان دهد. بنابراین خارج قسمت تقسیم ۰٫۵ بر ۰٫۲۳ همان ۲٫۱۷ بوده ولی باقی‌مانده ۰٫۰۰۰۹ محاسبه می‌شود.

نکته: برای به دست آوردن باقی‌مانده تقسیم، باید مقدار محاسبه شده برای باقی‌مانده تقسیم جدید (مقسوم و مقسوم علیه تبدیل شده) را بر همان عددی که مقسوم و مقسوم علیه را در آن ضرب کرده‌ایم، تقسیم کنیم. در غیر این صورت، باقی‌مانده صحیح نخواهد بود.

امتحان کردن عمل تقسیم اعشاری

می‌دانید که بعد از هر تقسیم، بهتر است نتیجه را امتحان کنیم تا مطمئن شویم، خارج قسمت و باقی مانده به صورت درست محاسبه و به دست آمده‌اند. امتحان کردن تقسیم با ضرب کردن خارج قسمت در مقسوم علیه و جمع با باقی‌مانده انجام می‌شود. این محاسبه باید با مقسوم برابر باشد تا درستی نتیجه تقسیم تایید شود. در تقسیم اعداد اعشاری هم به همین گونه حاصل اجرای عملیات تقسیم را امتحان یا آزمون می‌کنیم. این محاسبات باید با مقسوم برابر شود. به این ترتیب امتحان کردن عمل تقسیم اعشاری ما را به همان مقسوم خواهد رساند.

مثال ۲۱: نتیجه (خارج قسمت) تقسیم مثال ۱۹ را امتحان کنید.

راه حل: در مثال ۱۹ دیدیم که خارج قسمت برابر با 40 شد. برای امتحان به صورت زیر عمل می‌کنیم.

۸ × ۰٫۰۵ = ۰٫۴

از طرفی باقی‌مانده هم صفر است و با اضافه کردن صفر به حاصل ضرب بالا، تغییری بوجود نمی‌آید. پس با ضرب مقدار مقسوم علیه در خارج قسمت، به مقسوم رسیدیم، در نتیجه تقسیم به درستی انجام شده است.

مثال ۲۲: درستی تقسیم مثال ۲۰ را نمایش دهید.

راه حل: در مثال ۲۰، مقسوم برابر با ۰٫۵ و مقسوم علیه هم ۰٫۲۳ بود. خارج قسمت ۲٫۱۷ و باقی‌مانده، ۰٫۰۰۰۹ بدست آمد. محاسبات زیر را برای درستی تقسیم انجام می‌دهیم.

۲٫۱۷ × ۰٫۲۳ + ۰٫۰۰۰۹ = ۰٫۴۹۹۱ + ۰٫۰۰۰۹ = ۰٫۵

پس در اینجا هم عمل تقسیم به درستی صورت گرفته است.

ضرب اعداد اعشاری

برای نمایش عملگر ضرب از نماد (×) استفاده می‌کنیم و در سمت چپ آن یک عدد و در سمت راست نیز عدد دوم را نشان می‌دهیم. البته مهم نیست که عدد سمت چپ بزرگتر از سمت راست باشد یا خیر. از طرفی می‌دانیم که عمل ضرب خاصیت جابجایی دارد. برای مثال عمل ضرب دو عدد ۲۰ در ۳۰ را به صورت زیر نشان می‌دهیم.

۲۰ × ۳۰  = ۳۰ × ۲۰

تساوی بالا، جابجایی در ضرب را نشان می‌دهد. به عددهایی که در هم ضرب می‌شوند، عامل‌های ضرب و به حاصل آن‌ها حاصل‌ضرب می‌گوییم. در اینجا ۲۰ و ۳۰ عامل های ضرب هستند و حاصل‌ضرب آن‌ها برابر با ۶۰ است. از آنجایی که هر دو عدد ۲۰ و ۳۰، اعداد صحیح بودند، با اطلاعاتی که از ضرب به یاد داریم، به راحتی ضرب را انجام دادیم.

ولی اگر قرار باشد که دو عدد اعشاری را در هم ضرب کنیم، باید دقت بیشتری کرده و ضرب را انجام دهیم. در ادامه سه راه کار یا روش برای ضرب اعداد اعشاری معرفی می‌کنیم. شما می‌توانید از هر کدام که برایتان ساده‌تر است، برای ضرب کردن استفاده کنید.

ضرب اعداد اعشاری به کمک نمایش کسری

عدد اعشاری ۰٫۲۰ را در نظر بگیرید. به راحتی می‌توانیم این عدد را به کسر متعارفی تبدیل کرده و به صورت یک کسر بنویسیم.

نکته: می‌دانیم که ۰٫۲ و ۰٫۲۰ هر دو یک عدد هستند ولی اولی را دو دهم و بعدی را بیست صدم می‌خوانیم.

برای ضرب ۰٫۳۰ در ۰٫۲۰ نیز همین کار را انجام داده و ۰٫۳۰ را به صورت کسر متعارفی نوشته و در هم ضرب می‌کنیم. به یاد دارید که هنگام ضرب دو کسر، صورت‌ها در هم و مخرج‌ها نیز در هم ضرب می‌شوند.

همانطور که می‌بینید حاصل به صورت ۶۰۰ ده‌هزارم مشخص شده که پس از ساده‌سازی به شکل ۰٫۰۶ درخواهد آمد. به این ترتیب دو صفر از صورت و دو صفر از مخرج را با هم ساده‌ کرده‌ایم ولی در حقیقت هم صورت و مخرج این کسر را به ۱۰۰ تقسیم کرده و نتیجه را نمایش داده‌ایم. حال که روش کار را فراگرفتید، می‌توانیم با چند مسئله موضوع را برای اعداد اعشاری، ادامه دهیم.

مسئله ۱: بسته‌های کره، بطور متوسط وزنی برابر با ۰٫۲۵ کیلوگرم دارند. وزن ۴ بسته از این کره‌ها چقدر است؟

راه حل: واضح است که برای پاسخ باید این دو عدد را در هم ضرب کنیم. پس هر دو را به صورت کسر متعارفی نوشته و مانند کسرها در هم ضرب می‌کنیم. توجه داشته باشید که ۴ را می‌توانیم به قرار دادن واحد یعنی عدد ۱ در مخرج و قرار دادن ۴ در صورت، به شکل کسر متعارفی درآوریم.

مسئله 2: حاصل 1٫54 × 2٫3 را مشخص کنید؟

راه حل: ابتدا هر دو عدد را به کسر متعارفی تبدیل می‌کنیم.

به این ترتیب حاصل ضرب آن‌ها به شکل کسری مانند رابطه زیر خواهد بود.

در نهایت مقدار حاصل ضرب را به صورت ۳٫542 می‌نویسیم و می‌خوانیم سه ممیز پانصد و چهل و دو هزارم.

مسئله ۳: حاصل ۲٫۰4 × ۶٫3 را مشخص کنید؟

راه حل: این‌بار هم در اول کار، هر دو عدد را به کسر متعارفی تبدیل می‌کنیم.

پس از انجام عملیات ضرب، کسر‌ حاصل را به صورت اعشاری در می‌آوریم.

هر چند این روش برای محاسبه ضرب دو عدد اعشاری ساده به نظر می‌رسد، ولی یک روش طولانی محسوب می‌شود زیرا یکبار باید اعداد اعشاری را به کسر تبدیل کرده و ضرب را انجام دهیم. در انتها هم باید حاصل ضرب را به عدد اعشاری تبدیل کنیم.

ضرب اعداد اعشاری به کمک مساحت شکل هندسی

به یاد دارید که مساحت مربع یا مستطیل از طریق ضرب طول در عرض بدست می‌آید. بنابراین همین خاصیت و رابطه‌ای که برای نمایش اعداد اعشاری (یا کسری) بوسیله تقسیم یک شکل داریم، ضرب اعشاری را اجرا می‌کنیم. یک مربع را در نظر بگیرید که ۱۰ ستون و ۱۰ سطر دارد. در نتیجه مشخص است که این شکل، دارای ۱۰۰ سلول یا خانه است.

به تعداد مقدار اعشار، خانه‌های این جدول را به صورت ستون به ستون، رنگی می‌کنیم. همین کار را برای مضرب دوم ولی براساس سطر به سطر از خانه‌های جدول انجام می‌دهیم. تعداد خانه‌هایی مربوط به هر دو رنگ (مشترک بین دو عدد) حاصل‌ضرب آن‌ها را نشان می‌دهد. به یاد داشته باشید، چون جدول را با ۱۰۰ خانه ساخته‌اید، اعداد اعشاری را برحسب صدم اعشار بیان کنید. برای مثال مقدار ۰٫۲ را به صورت ۰٫۲۰ (بیست صدم) مشخص کنید.

مسئله ۴: حاصل ضرب ۰٫۴ را در ۰٫۵ بدست آورید.

راه حل: ابتدا یک جدول با ۱۰ سطر و ۱۰ ستون می‌سازیم تا ۱۰۰ خانه حاصل شود.

حالا مضرب اول را با رنگ‌آمیزی ستونی مشخص می‌کنیم. واضح است که ۰٫۴ به صورت ۰٫۴۰ در نظر گرفته شده و ۴۰ خانه از سلول‌های جدول را از سمت چپ به ترتیب ستون به ستون رنگ می‌کنیم. پس ۴ ستون اول مثلا به رنگ زرد در خواهد آمد. مشخص است که چهار ستون ده‌تایی برابر با ۴۰ بوده که چون کل تقسیمات برابر با ۱۰۰ است، عدد ۰٫۴۰ مشخص شده است.

مضرب دوم را هم به همین ترتیب ولی براساس رنگ‌آمیزی سطر به سطر، از جدول اولیه می‌سازیم. به تصویر زیر دقت کنید که عدد ۰٫۵۰ را نمایش می‌دهد.

حال این دو شکل را روی هم قرار می‌دهیم و تعداد خانه‌های مشترک هر دو رنگ را می‌شماریم. تعداد برابر است با ۲۰ خانه، پس حاصل ضرب این دو عدد برابر با ۰٫۲۰ یا همان ۰٫۲ است. به تصویر زیر توجه کنید.

مسئله ۵: عدد ۱٫۳ را در ۰٫۵ ضرب کنید.

را ‌حل: در این مسئله یک بخش از مضارب، شامل یک رقم صحیح است. بنابراین ضرب را به صورت زیر تفکیک می‌کنیم.

۱٫۳ × ۰٫۵ = ( ۱ + ۰٫۳ ) × ۰٫۵ = (۱ × ۰٫۵) + ( ۰٫۳ × ۰٫۵)

هر بخش را جداگانه توسط شکل بدست آورده و نتیجه را با هم جمع می‌کنیم. ابتدا ۱ را در ۰٫۵ ضرب می‌کنیم. برای نمایش عدد ۱ ( که به صورت ۱٫۰۰ نیز قابل نمایش است) باید تمام خانه‌های این جدول ۱۰۰‌تایی را رنگ کنیم. سپس ۵ سطر اول که رنگی هستند را روی جدول اولیه قرار داده و تعداد خانه‌های مشترک را می‌شماریم.

مشخص است که حاصل ضرب اول برابر با ۰٫۵ و حاصل ضرب دوم برابر با ۰٫۱۵ است. بقیه مراحل به مانند مسئله قبل صورت می‌گیرد.

به این ترتیب مقدار نهایی برای ضرب این دو عدد به صورت زیر درخواهد آمد.

۱٫۳ × ۰٫۵ = ۰٫۵۰ + ۰٫۱۵ = ۰٫۶۵

مسئله 6: عدد ۱٫۳ را در 2٫۵ ضرب کنید.

را ‌حل: در این مسئله هر دو بخش از مضارب، شامل یک رقم صحیح است. بنابراین ضرب را به صورت زیر تفکیک می‌کنیم.

۱٫۳ × 1٫۵ = ( ۱ + ۰٫۳ ) × ( 2 + ۰٫۵) = ( ۱ × 2 ) + ( 1 × ۰٫۵) + ( 0٫۳ × 2 ) + (۰٫۳ × ۰٫۵)

هر بخش را جداگانه توسط شکل بدست آورده و نتیجه را با هم جمع می‌کنیم. ابتدا ۱ را در ۲ ضرب می‌کنیم که حاصل ضرب برابر با ۲ می‌شود. سپس ۱ را در ۰٫۵ به مانند حالت قبل ضرب می‌کنیم که می‌دانیم حاصل برابر با ۰٫۵ است.

برای ضرب کردن ۲ در ۰٫۳، دو جدول ۱۰۰ خانه‌ای ایجاد می‌کنیم (اگر به جای ۲ مثلا ۴ داشتیم، چهار جدول می‌ساختیم). حالا روی هر دو جدول حاصل ضرب ۱ در ۰٫۳ را محاسبه می‌کنیم و نتایج را با هم جمع می‌کنیم. واضح است که مقدار ۰٫۶ بدست می‌آید زیرا ۶۰ خانه از هر دو جدول (۳۰ خانه از جدول اول و ۳۰ خانه از جدول دوم) رنگ‌آمیزی شده‌اند. از طرفی حاصل ضرب ۰٫۵ در ۰٫۳ نیز برابر با ۰٫۱۵ است. بنابراین نتایج را با هم جمع کرده و به مقدار زیر خواهیم رسید.

۱٫۳ × 1٫۵ = ( ۱ × 2 ) + ( 1 × ۰٫۵) + ( 0٫۳ × 2 ) + (۰٫۳ × ۰٫۵)

= 2 + 0٫۵ + ۰٫۶ + ۰٫۱۵ = ۳٫۲۵

مسئله 7: عدد ۳٫۳ را در ۲٫۲ ضرب کنید.

راه حل: از آنجایی که هر دو عدد با یک رقم اعشار ساخته شده‌اند، باز هم خانه‌هایی یک جدول ۱۰۰ تایی کافی است. فقط ابتدا بهتر است ضرب را به صورت زیر تجزیه کنیم و بعد براساس رنگ‌آمیزی جدول، حاصل‌ضرب را بدست آوریم.

۲٫۲ × ۳٫۳ = ( ۲ + ۰٫۲) × (3 + 0٫۳) =

۲ × ( ۳ + ۰٫۳) + ۰٫۲ × ( ۳ + ۰٫۳) =

[(۲ × ۳) + (۲ × ۰٫۳)] + [(۰٫۲ × ۳) + (۰٫۲ × ۰٫۳)] =

6 + ۰٫۶ + ۰٫۶ + ۰٫۰۶ = ۷٫۲۶

واضح است که از جدول و رنگ‌آمیزی فقط برای بخش‌هایی از ضرب استفاده می‌کنیم که یکی از مضرب‌ها، اعشاری باشد.

مسئله 8: مسئله ۳ را به کمک تجزیه اعداد اعشاری به بخش‌های صحیح و اعشاری حل کنید.

راه حل: ابتدا هر یک از مضرب‌ها را به بخش‌های صحیح و اعشاری تفکیک می‌کنیم.

۲٫۰4 × ۶٫3 = ( ۲ + ۰٫۰۴) × (۶ + 0٫۳) =

۲ × ( ۶ + ۰٫۳) + ۰٫۰۴ × ( ۶ + ۰٫۳) =

[(۲ × ۶) + (۲ × ۰٫۳)] + [(۰٫۰۴ × ۶) + (۰٫۰۴ × ۰٫۳)] =

۱۲ + ۰٫۶ + ۰٫۲۴ + ۰٫۰۱۲ = ۱۲٫852

حتما می‌دانید که یک عدد اعشاری دارای دو بخش قبل از ممیز (سمت چپ) و بعد از ممیز (سمت راست) تفکیک می‌شود. بنابراین برای بدست آوردن حاصل ضرب مسئله ۳، چهار ضرب را انجام می‌دهیم. قسمت صحیح عدد اول در قسمت صحیح عدد دوم، قسمت صحیح عدد اول در قسمت اعشاری عدد دوم، قسمت اعشاری عدد اول در قسمت صحیح عدد دوم و ضرب قسمت اعشاری عدد اول در قسمت اعشاری عدد دوم. در آخر کافی است برای رسیدن به پاسخ نهایی، این مقادیر را با هم جمع کنیم.

ضرب اعداد اعشاری به کمک قاعده ضرب

به کمک قاعده ضرب اعداد اعشاری، می‌توان به راحتی ضرب‌ چنین اعدادی را انجام داد. این قاعده به صورت زیر است.

برای ضرب دو عدد اعشاری، ابتدا آن دو عدد را بدون در نظر گرفتن ممیز، در هم ضرب کرده، سپس به جمع تعداد ارقام اعشار هر دو عامل ضرب، از سمت راست عدد حاصل‌ضرب ممیز را جابجا کرده و به سمت چپ می‌بریم. به مسئله زیر دقت کنید.

مسئله 9: فرض کنید قرار است حاصل ضرب ۳۵٫۲۵ را در ۱۰٫۰۳ بدست آوریم.

راه حل: ابتدا برای انجام ضرب اعداد اعشاری آن‌ها را بدون ممیز در هم ضرب می‌کنیم.

3525× 1003 = 3535575

از آنجایی که مضرب اول، دو رقم اعشار و مضرب دوم نیز دو رقم اعشار دارد، مجموع تعداد ارقام اعشار هر دو عدد برابر با ۴ شده و از سمت راست حاصل‌ضرب قسمت بالا، ممیز را چهار رقم به سمت چپ حرکت می‌دهیم. می‌دانید که عدد صحیح را می‌توان با یک ممیز و صفر در سمت راست آن نیز نمایش داد. پس عدد مورد نظر به شکل ۳۵۳۵۵۷۵٫۰ در نظر گرفته شده و ممیز جابجا می‌شود.

۳۵۳۵۵۷٫۵ :حرکت اول

۳۵۳۵۵٫۷۵ :حرکت دوم

۳۵۳۵٫۵۷۵ :حرکت سوم

۳۵۳٫۵۵۷۵ :حرکت چهارم

پس حاصل برابر است با ۳۵۳٫۵۵۷۵ یا سیصد و پنجاه و سه ممیز پنج هزار و پانصد هفتاد و پنج، ده هزارم.

مسئله 10: در جای خالی عدد مناسب بنویسید.

۰٫۲ × ۰٫۴ = ــــ  × ــــ = ــــ

راه حل: می‌بینید که باید ضرب را به صورت کسری انجام دهیم. بنابراین هر کدام از آن‌ها را به صورت کسر متعارفی در می‌آوریم.

مسئله ۱۱: برای حاصل ضرب، عامل‌های ضرب متفاوتی بنویسید.

ـــــ × ـــــ = ۰٫۴

راه حل: شاید ساده‌ترین مضرب ۰٫۴، همان ۱ باشد. در نتیجه عبارت بالا را به صورت زیر خواهیم نوشت.

۰٫۴ = ۰٫۴ × ۱

از طرفی رابطه زیر نیز برقرار است.

۰٫۴ = ۰٫۰۴ × ۱۰

همچنین داریم:

۰٫۴ = ۰٫۰۰۴ × ۱۰۰

به این ترتیب ۰٫۴ را به سه روش حاصل‌ضربی نوشتیم. همچنین می‌توانیم عوامل دیگری برای ضرب نیز ارائه کنیم.

۰٫۴ = ۰٫۲ × ۲

یا

۰٫۴ = ۰٫5 × 8

مسئله ۱۲: مساحت شکل زیر را پیدا کنید.

نکته: توجه داشته باشید که این شکل، یک متوازی الاضلاع است و مساحت آن برابر است با قاعده در ارتفاع آن.

راه حل:

با توجه به توضیح بالا، باید ضرب اعداد اعشاری را برای دو مقدار ۳٫۹ را در ۴٫۵ به کار ببریم. برای این کار از شیوه ضرب ساده و تبدیل به عدد صحیح کمک می‌گیریم.

۴۵ × ۳۹ = ۱۷۵۵

از آنجایی که هر دو عدد یک رقم اعشار داشتند، مجموع تعداد ارقام اعشار آن‌ها برابر با ۲ است. پس از سمت راست، دو رقم اعشار ایجاد می‌کنیم. نتیجه برابر با ۱۷٫۵۵ خواهد بود. پس مساحت متوازی الاضلاع ذکر شده، ۱۷٫۵۵ واحد است.

همانطور که دیدید، راه‌کار سوم که برای ضرب اعداد اعشاری بیان شد، ساده‌تر از همه به نظر می‌رسد ولی دقت کنید که برای این روش، ما مفاهیمی را که در دو قسمت قبلی فراگرفتیم، در نظر گرفته و به کار برده‌ایم. در بسیاری از مواقع، انجام ضرب ذهنی و سریع می‌تواند برای مقادیر اعشاری نیز به کار آید. برای مثال مشخص است که ضرب هر عدد اعشاری در ۱۰ یا توان‌هایی از ۱۰، باعث حرکت اعشار به سمت راست خواهد شد.

 

بیشتر بخوانید:

ضرب و تقسیم کسر ها | روش های آسان با حل تمرین / ضرب و قسیم اعداد مخلوط | آموزش آسان به همراه مثال / اعداد صحیح چیست؟ | به چه اعدادی صحیح گفته میشود / جمع و تفریق عدد های مخلوط | آموزش تصویری همراه با نحوه درست جمع و تفریق / آشنایی با انواع زاویه ها / زوایای داخلی اشکال هندسی | آموزش محاسبه زوایای داخلی /