در نظریه اعداد، با توجه به ویژگی‌های دسته‌ای از عددها، آن‌ها را به مجموعه‌هایی متفاوت، طبقه‌بندی کرده‌اند. در نوشتار اعداد صحیح چیست؟ ویژگی‌هایی این مجموعه از اعداد را مورد بررسی قرار خواهیم داد. در ادامه همراه زنگ تفریح باشید.
اعداد صحیح چیست؟
به چه اعدادی صحیح گفته میشود
همانطور که اشاره شد، ممکن است که تفاصل دو عدد طبیعی دیگر یک عدد طبیعی نباشد. در این حالت، زمانی که اعداد صحیح بوجود نیامده بودند، برای تفریق دو عدد طبیعی این قانون را باید در نظر می‌گرفتیم که حتما در رابطه زیر a بزرگتر از b باشد.
a−b∈N,a≥b
بدون توجه به این شرط دیگر امکان تفاضل وجود نداشت برای حل این مشکل، لازم است که گستره اعداد شناخته شده را افزایش دهیم و به کمک آن مجموعه (که بیانگر اعداد صحیح است) حاصل این تفریق را مشخص کنیم.
هر عددی که بدون نمایش به صورت کسری قابل نمایش باشد، یک عدد صحیح خوانده میشود. برای مثال اعداد 1، 2 ،0، 5-، 10-، و 7 در گروه اعداد صحیح قرار می‌گیرد زیرا می‌توانیم بدون آنکه احتیاج به نمایش کسر متعارفی داشته باشیم، آن‌ها را مشخص کنیم.
مجموعه اعداد صحیح
مجموعه اعداد صحیح (Integers) با علامت Z نشان داده میشود. علامت Z از ابتدای کلمه آلمانی (Zahlen) به معنی «عدد» گرفته شده است. البته در انگلیسی به این گونه اعداد Integer گفته میشود که از کلمه لاتین (Integer) به معنی عدد گرفته شده است. این مجموعه اعداد شامل صفر، اعداد طبیعی و اعداد منفی (قرینه اعداد مثبت) است.
Z={…,−2,−1,0,1,2,…}
همانطور که دیده میشود، مجموعه اعداد طبیعی زیرمجموعه‌ای از اعداد صحیح خواهد بود. از طرفی مجموعه اعداد صحیح نیز زیر مجموعه اعداد گویا (Q) است. در نهایت مجموعه اعداد حقیقی (R) و اعداد مختلط (C) نیز با مجموعه‌های گفته شده در رابطه زیر قرار میگیرند.
N⊂Z⊂Q⊂R⊂C
نکته: در مقابل با اعداد گویا یا کسری (Rational Numbers)، اعداد صحیح را گاهی اعداد درست گویا (Rational Integers) نیز می‌نامند.
بیشتر بخوانید: جمع و تفریق عدد های مخلوط | آموزش تصویری همراه با نحوه درست جمع و تفریق
نمایش اعداد صحیح روی محور اعداد
در دیگر مطالب فرادرس اشاره کردیم که می‌توان اعداد طبیعی را روی محوری جهت دار نمایش داد. به همان شکل، اعداد صحیح را نیز می‌توانیم روی دو محوری نشان دهیم که از هر دو طرف بی‌کران است. عدد صفر مرکز یا محل اتصال این دو محور است. در سمت راست صفر، مقادیر مثبت و در سمت چپ آن مقادیر منفی قرار میگیرند. برای درک بهتر این موضوع به تصویر زیر توجه کنید.
در این محور، اعداد مثبت با رنگ آبی و اعداد منفی با رنگ قرمز مشخص شده‌اند. همچنین عدد صفر نیز در مرکز این محورها دیده میشود. واضح است که هر چه از سمت چپ این محور به سمت راست حرکت کنیم، اعداد بزرگتر خواهند شد. برای مثال می‌توان گفت که −9<3 است زیرا روی محور اعداد عدد −9 در سمت چپ 3 قرار گرفته است. بنابراین هنگام مقایسه دو عدد روی محور، آن عددی بزرگتر است که در سمت راست عدد دیگر قرار گرفته باشد. به همین ترتیب اگر عددی در سمت چپ عدد دیگر روی محور باشد، کوچکتر از آن خواهد بود.
عددهای آبی (سمت راست مقدار صفر) در تصویر ۱ را اعداد صحیح مثبت و اعداد قرمز (سمت چپ مقدار صفر) را اعداد صحیح منفی می‌نامند. واضح است که در سمت راست مقدار صفر، مقادیر مثبت بوده و در سمت چپ صفر روی محور اعداد، همه مقادیر منفی هستند.
اگر دقت کنید، اعدادی که در سمت چپ محور دیده می‌شوند، قرینه اعداد سمت راست هستند. به این معنی که هر عدد صحیح مثبتی را با قرینه کردن، می‌توان به صورت یک عدد صحیح منفی درآورد. برای اعداد مثبت روی محور، اغلب از علامت + استفاده میشود. ولی اگر برای عددی، علامت گذاشته نشود، آن را مثبت در نظر می‌گیریم.
نکته: عدد صفر، نه مثبت است و نه منفی به همین جهت آن را در مجموعه اعداد صحیح مثبت یا اعداد صحیح منفی مشخص نمی‌کنند.
عبارت‌های زیر برای اعداد صحیح، گزاره‌های درست هستند.
- هر عدد صحیح مثبت، از هر عدد صحیح منفی، بزرگتر است. برای مثال −5<5 است.
- همه عددهای صحیح منفی از صفر کوچکتر هستند. مشخص است که می‌توان به −5<0 اشاره کرد.
- همه اعداد صحیح بزرگتر از صفر، مثبت هستند. مثلا 0<4.
- هر عدد صحیح منفی، قرینه یک عدد صحیح مثبت است. برای مثال قرینه عدد ۶+، برابر با ۶- است که یک عدد صحیح منفی است.
- هر عدد صحیح مثبت، قرینه یک عدد صحیح منفی است. می‌دانیم که ۶- یک عدد منفی است و قرینه آن برابر است با ۶+ که مقداری مثبت خواهد بود.
خصوصیات اعداد صحیح
از آنجایی که اعدادطبیعی زیر مجموعه اعداد صحیح هستند، بعضی از خصوصیات آن‌ها نیز به مجموعه اعداد صحیح نسبت داده میشود. در ادامه به بعضی از این خاصیت‌های جالب برای اعداد صحیح اشاره می‌کنیم.
بیشتر بخوانید:
ضرب و تقسیم کسر ها | روش های آسان با حل تمرین / ضرب و قسیم اعداد مخلوط | آموزش آسان به همراه مثال / آشنایی با انواع زاویه ها / زوایای داخلی اشکال هندسی | آموزش محاسبه زوایای داخلی / بهترین انیمیشن های 2021 | محبوب ترین ها و مهم ترین ها را بشناسید / اینترنت رایگان شاد در سال تحصیلی جدید ادامه خواهد داشت /
ممنون که تا به اینجای کار ما را همراهی کردید. امیدوارم این مطلب برای شما مفید واقع شده باشد. نظرات خود را درباره نوشتار اعداد صحیح چیست؟ با زنگ تفریح به اشتراک بگذارید.